定常媒体での質量拡散移動
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定常媒体での質量拡散移動

質量拡散移動の支配方程式は以下の様になります[34]。

$\displaystyle \boldsymbol{ j}_A = - \rho \boldsymbol{D}_{AB}\nabla m_A$ (227)

$\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{ j}_A + \dot{n_A} = \frac{\partial \rho_A}{\partial t},$ (228)

ここで

$\displaystyle m_A = \frac{\rho_A}{\rho_A + \rho_B}$ (229)

$\displaystyle \rho = \rho_A + \rho_B.$ (230)

です。上記方程式で jA は種 A の質量フラックス、DAB は質量拡散率、mA は種 A の質量分率、ρA は種 A の密度です。また$ \dot{n_A}$は混合物単位体積あたりの種 A の質量増加率です。これらは以下の様な式として書くこともできます。

$\displaystyle \boldsymbol{ J}_A^* = - C \boldsymbol{D}_{AB}\nabla x_A$ (231)

$\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{ J}_A^* + \dot{N_A} = \frac{\partial C_A}{\partial t}.$ (232)

ここで

$\displaystyle x_A = \frac{C_A}{C_A + C_B}$ (233)

C = CA + CB (234)

です。ここで J*A は種 A のモル・フラックス、DAB は質量拡散率、xA は種 A のモル分率、CA は種 A のモル濃度です。また$ \dot{N_A}$は種 A のモル濃度増加率です。

これらから以下のような結果が得られます。

$\displaystyle \nabla \cdot (- \rho \boldsymbol{ D}_{AB} \cdot \nabla m_A)+ \frac{\partial \rho_A}{\partial t} = \dot{n_A} .$ (235)

または

$\displaystyle \nabla \cdot (- C \boldsymbol{ D}_{AB} \cdot \nabla x_A)+ \frac{\partial C_A}{\partial t} = \dot{N_A} .$ (236)

C と ρ が定数の場合にはこれらは以下の様に変形できます。

$\displaystyle \nabla \cdot (- \boldsymbol{ D}_{AB} \cdot \nabla \rho_A)+ \frac{\partial \rho_A}{\partial t} = \dot{n_A} .$ (237)

または

$\displaystyle \nabla \cdot (- \boldsymbol{ D}_{AB} \cdot \nabla C_A)+ \frac{\partial C_A}{\partial t} = \dot{N_A} .$ (238)

熱方程式と比較すると、その対応関係は表(16)の様になります。

表 16:熱方程式と質量拡散方程式の間の対応関係
熱の諸量 質量拡散の諸量
T ρ CA
q jA J*A
qn jAn jA*n
κ DAB DAB
ρh $ \dot{n_A}$ $ \dot{N_A}$
ρc 1 1


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guido dhondt 2016-03-08